RACHUNEK OPERATOROWY I PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE'A Wagner PWN

SPIS RZECZY

Z przedmowy autora do pierwszego wydania

Z przedmowy autora do drugiego wydania .

Przedmowa tłumacza

Rozdział I. Rachunek operatorowy Heaviside'a

§ 1. Uwagi wstępne

§ 2. Obwód prądowy z opornością i pojemnością

a. Wszystkie wielkości chwilowe zmieniają się zgodnie z funkcją czasu evt

b. Stan ustalony przy prądzie zmiennym   .

c. Przebieg włączenia napięcia stałego

§ 3. Operator p = —   według Heaviside'a

a. Przebieg włączenia ze skokiem napięcia E  rj

b. Dowolny przebieg E (t) napięcia źródłowego

c. Prąd zmienny sinusoidalny. Pierwsza reguła przesunięcia Heaviside'a

§ 4. Operatory i funkcje przenoszenia w dowolnych układach przenoszeniowych. Przebiegi włączania przy zmiennej sile. Iloczyny operatorów    .

a. Liniowe układy przenoszenia przy sile włączenia przebiegającej

w dowolny sposób

b. Iloczyny operatorów

c. Suma operatorów

d. Włączenie siły okresowej  (harmonicznej). Zależność między impedancją prądu zmiennego i funkcją przejściową

§ 5. Równanie falowe.  Druga reguła przesunięcia Heaviside'a

§ 6. Całkowanie i różniczkowanie niecałkowitego rzędu. Operatory \/p i —=VP

Rozdział II. Rachunek operatorowy jako przekształcenie funkcyjne

§ 7. Podstawowe zadanie rachunku operatorowego i jego rozwiązanie ogólne

a. Sformułowanie zagadnienia

b. Rozwiązanie za pomocą całki Wagnera - Bromwicha

§ 8. Zależność między funkcją operatorową i widmem częstotliwości .   .   .

a. Całka Fouriera

b. Przedstawienie funkcji przeniesienia A (t)  za pomocą składowych

funkcji przejściowej

§ 9. Przekształcenie Laplace'a i jego odwrócenie jako podstawa rachunku

operatorowego

a. Przekształcenia funkcyjne

b. Wzory Mellina

c. Całka   Laplace'a   i   własności   utworzonej   za   jej   pomocą   trans

formaty f(p)

d. Przekształcenie Laplace'a i jego odwrócenie. Nowy rachunek opera

torowy (rachunek symboliczny)

e. Sposób postępowania przy nowym rachunku operatorowym    .   .   .

§ 10. Reguły rachunkowe przekształcenia Laplace'a

a. Twierdzenie o dodawaniu oraz różniczkowanie i całkowanie względem

parametru

b. Twierdzenie   o   podobieństwie.   Zależności   funkcyjne   przy   granicach O i  oo

c. Różniczkowanie w polu rzeczywistym

d. Całkowanie w polu rzeczywistym

e. Przesuniecie zmiennej w polu zespolonym

f. Przesunięcie zmiennej w polu rzeczywistym

g. Tworzenie różnic i różniczkowanie w polu zespolonym

h. Całkowanie w polu zespolonym

i. Twierdzenia o splocie

k. Twierdzenia o przekształceniu

1. Oddzielenie stanu końcowego od przebiegu przejściowego.

Uwagi do §10 (napisał Z. Zahorski)

Rozdział III. Twierdzenia o rozwinięciu

§ 11. Twierdzenie Heaviside'a o rozwinięciu

a. Wzór Heaviside'a

b. Wyrazy  zastępcze  w  przypadku  wielokrotnych   miejsc   zerowych

równania pierwiastkowego p G (p) = 0

c. Przebieg czasowy poszczególnych procesów składowych

§ 12. Uogólnienie wzoru Heaviside'a. Włączenie siły zmiennej

§ 13. Twierdzenie o rozwinięciu przy dowolnym przebiegu czasowym  siły

zewnętrznej

Rozdział IV. Zagadnienia prowadzące do zwykłych   równań różniczkowych   liniowych ze   stałymi   współczynnikami

§ 14. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Przykład: Ruch punktu

materialnego w środowisku stawiającym opór

§ 15. Układ dwóch równań różniczkowych rzędu pierwszego. Przykład:

Włączenie bezpośrednie silników prądu stałego

§ 16. Równania różniczkowe rzędu drugiego. Przykład: Wzbudzenie układu

drgającego przez specjalnie dostrojoną siłę

§ 17. Zwyczajne równanie różniczkowe liniowe rzędu n ze stałymi współczynnikami

§ 18. Układy sprzężone

§ 19. Ruch układów sprzężonych przy dowolnych warunkach początkowych

§ 20. Twierdzenie o energii wymiennej. Procesy normalne   .

Rozdział V. Przewody łańcuchowe

§ 21. Rozważania   ogólne   dotyczące   przewodów   łańcuchowych   w   stanie

ustalonym

§ 22. Drgania własne przewodów łańcuchowych

a. Obliczenie procesu włączenia przy stałym napięciu

b. Twierdzenia  o położeniu  częstotliwości własnych  i  o  łańcuchach

filtrujących ze stratami

§ 23. Proces włączenia łańcucha składającego się z czwórników sprzężonych

z wzmacniaczami

§ 24. Przewody łańcuchowe obciążone impedancją falową i przewody łańcuchowe nieskończenie długie

§ 25. Wieloczłonowy przewód ze skoncentrowanymi pojemnościami i indukcyjnościami (sztuczny kabel, przewody Pupina)

a. Rozwiązanie ogólne oraz przypadki szczególne: przewód bez strat,

przewód wolny od zniekształceń, przewód bez upływności

b. Przypadek szczególny. Kabel sztuczny bezindukcyjny

c. Włączenie   napięcia   zmiennego.   Proces   przy   włączeniu   przewodu pupinizowanego

Rozdział VI. Równania całkowe typu Volterry

§ 26. Zagadnienia łączenia, przy których występują równania całkowe     .   .

a. Przepisany z góry przebieg czasowy określonej wielkości układu    .

b. Wyłączenie części sieci

§ 27. Rozwiązanie równania całkowego za pomocą przekształcenia Laplace'a

a. Zagadnienie wyłączenia

b. Przebieg siły przy zadanym z góry procesie przejściowym

c. Jądro rozwiązujące

d. Jądra iterowane i szereg Neumanna

§ 28. Związek z równaniami różniczkowymi liniowymi

§ 29. Równania całkowo-różniczkowe

Rozdział VII. Zagadnienia prowadzące do równań różniczkowych cząstkowych

§ 30. Elektryczny przewód jednorodny jako przykład. Zależności ogólne .   .

a. Continuum

b. Równanie różniczkowe

c. Warunki graniczne

d. Stan początkowy. Stała rozchodzenia się fal

e. Oporność falowa. Równania czwórnika w polu zespolonym

§ 31. Rozprzestrzenianie się napięć i prądów wzdłuż jednorodnej linii

a. Linia bez strat: B — O, <? = O

b. Przewód wolny od zniekształceń BIL = G/C = a

c. Kabel bez indukcyjności i bez upływności (tzw. kabel Thomsona):

d. Kabel bez indukcyjności (L = 0)

e. Linia bez upływności (G = 0)

f. Przypadek ogólny. Wszystkie cztery parametry linii są różne od zera

§ 32. Wpływ połączenia na początku linii

a. Uwagi ogólne dotyczące rozważanego zagadnienia

b. Rozwiązanie ogólne w polu zespolonym

c. Linia bez strat i linia wolna od zniekształceń

d. Kabel Thomsona. Zasilanie poprzez opornik, kondensator lub sieć

o dowolnych oczkach

e. Linia bez upływności. Zasilanie poprzez opornik lub poprzez kondensator

f. Wszystkie cztery parametry linii różne od zera. Zasilanie z sieci

o dowolnych oczkach

§ 33. Procesy przy włączeniu linii o skończonej długości

a. Rozwiązania otrzymane przy badaniu procesów normalnych (tj. drgań

własnych) oraz fal składowych

b. Linia bez strat i linia wolna od zniekształceń

c. Linia bez indukcyjności  (kabel Thomsona)

d. Linia o skończonej prędkości rozprzestrzeniania się fal i o skończonym

zniekształceniu

§ 34. Przejściowy proces wyrównawczy jednowymiarowego continuum wy

prowadzonego ze stanu równowagi. (Wyładowanie przewodu elektrycznego. Drgania wzdłużne prętów i sprężyn śrubowych. Drgania skrętne

wałów obciążonych na końcu)

a. Przedstawienie procesu za pomocą drgań własnych pręta lub sprężyny

śrubowej

b. Przedstawienie procesu za pomocą fal elastycznych

c. Analogiczny problem z teorii przewodów: wyładowanie linii poprzez

indukcyjność

d. Analogiczne zagadnienia dotyczące drgań skrętnych i fal dźwiękowych

§ 35. Prądy wirowe w masywnym walcu metalowym

§ 36. Zniekształcenie czoła fali przez naskórkowość w przewodzie

§ 37. Drgania płaskich membran o kształcie kołowym

Rozdział VIII. Rozwinięcia szeregowe

§ 38. Rozwinięcia w szeregi w punkcie zerowym osi czasu

a. Uwagi wstępne

b. Przypadek ogólny

c. Przykład. Szereg potęgowy funkcji J„(at)

d. Szeregi potęgowe względem  1/ł/F lub względem ]/t

§ 39. Szeregi asymptotyczne

a. Założenia ograniczające

b. Pojęcie szeregu asymptotycznego. Wydzielanie funkcji wykładniczej

c. Sens przedstawienia asymptotyeznego. Oszacowanie błędu

d. Reguły   rachunkowe:   dodawanie,   mnożenie,   tworzenie   szeregów, dzielenie szeregów asymptotycznych

e. Całkowanie szeregów asymptotycznych. Uogólnienie pojęcia przed

stawienia asymptotycznego

f. Uwaga o różniczkowaniu szeregów asymptotycznych

§ 40. Przykłady rozwinięć asymptotycznych

a. Operator |/p/(l+/p)

b. Operator pe

c. Funkcja Bessla J„(jat)

d. Funkcja Bessla J0(at)

§ 41. Dalsze zastosowania

a. Prąd  przy włączeniu  kabla  Thomsona  o  skończonej   upływności.

Szereg potęgowy dla małych wartości t

b. Asymptotyczne rozwinięcie dla wielkich wartości t

c. Włączenie bezindukcyjnego kabla poprzez indukcyjność

d. Wyprowadzenie szeregu asymptotycznego z całki odwrotnej

e. Zastosowanie do funkcji Bessla Jn(at)

§ 42. Szeregi w zagadnieniu włączenia napięcia zmiennego

a. Prąd w kablu Thomsona przy włączeniu napięcia sintoi

b. Obliczenie przejściowego składnika prądu włączenia

c. Przykład. Włączenie cewki dławikowej

§ 43. Proces włączenia i swobodne drgania prostego układu nieliniowego    .

a. Obliczenie pulsacji i amplitud tonów podstawowych jak również

tonów   wyższych   i   tonów   kombinacyjnych   przy   danym   stanie

początkowym

b. Drgania swobodne

c. Uogólnienie.   Człony   kwadratowe   pochodzące   od   siły   wstecznej

i od tłumienia oraz wpływ wzajemny tych sił na siebie

Przykłady

(Przykłady C1-C14 opracował B. Konorski)

B 1. Elektryczny obwód drgający. Operatory. Przebieg włączenia

C 1. Włączenie  napięcia  stałego  na obwód  składający  się z  szeregowego

połączenia C i BO

C 2. Włączenie napięcia stałego na obwód skojarzony magnetycznie z drugim

obwodem

C 3. Włączenie napięcia sinusoidalnego na obwód z elementami BL  .

B 2. Mechaniczny układ drgający

B 3. Głośnik. Przebieg drgań przy napięciu zmiennym

B 4. Operatory dowolnej części obwodu prądowego (dwójnika)

B 5. Ogólny schemat elektrycznego przesyłania  (czwórnik z  odbiornikiem

i nadajnikiem)

C 4. Zanik prądu stałego w jednej z gałęzi odbiornika

C 5. Wyładowanie kondensatora poprzez oporność B

C 6. Wyładowanie kondensatora O w obwodzie zawierającym elementy B i L

C 7. Doładowanie kondensatora przez oporność

C 8. Zmiana oporności w obwodzie zawierającym elementy B i L .   .   .   .

C 9. Zmiana oporności w obwodzie zawierającym elementy B, L i O w po

łączeniu przedstawionym na rysunku 101

C 10. Zmiana napięcia

C 11. Wyładowanie kondensatora poprzez kondensator    .

B 6. Cztery sposoby obliczenia funkcji czasowej operatora l/p(p + a)   .

C 12. Włączenie napięcia sinusoidalnego na obwód zawierający elementy RiC

C 13. Włączenie napięcia sinusoidalnego na obwód zawierający elementy B i L

C 14. Włączenie napięcia sinusoidalnego na obwód zawierający elementy S, L i G

B 7. Zastosowanie całki odwróconej do obliczenia operatora p-« (n dodatnie i całkowite)

B 8. Funkcja czasowa operatora pl(p-}-a)

B 9. Funkcja czasowa operatora e^A(p)

B 10. Funkcja czasowa operatora A (p) = \/p

Bil. Funkcja czasowa operatora A (p) = l/l/p

B 12. Funkcja czasowa operatora A(p) — p™ (przy dowolnej wartości wykładnika m)

B 13. Odwrócenie operatorów za pomocą wzoru Heaviside'a

B 14. Wyprowadzenie wzoru (23) z A 15

B 15. Radioaktywny rozpad ciała tworzącego się z innego ciała

B 16. Rozruch nieobciążonego silnika prądu stałego przy włączeniu bez

pośrednim

B 17. Rozruch przy zwiększonej indukcyjności obwodu twornika (kotwicy).

B 18. Rozruch przy pełnym obciążeniu

B 19. Wzbudzanie dwuobwodowego odbiornika falą tłumioną

B 20. Przepięcia przy włączaniu maszyny prądu stałego, służącej do zasilania iskiernika

B 21. Rozkład napięcia przy włączeniu łańcucha górnoprzepustowego .   .   .

B 22. Rozkład napięcia przy włączeniu prostego filtra pasmowego

B 23. Rozkład napięcia przy włączeniu podwójnego łańcucha filtrującego   .

B 24. Drgania swobodne i prąd końcowy przy włączeniu łańcucha składającego się ze sprzężonych indukcyjnie obwodów drgających

B 25. Rozkład napięcia i prądu wzdłuż łańcucha z członami typu X przy jego włączeniu

a. Stan jałowy

b. Zaciski wyjściowe zwarte

B 26. Obliczanie funkcji czasu odpowiadającej operatorowi ((l — p)f(l+p))n

za pomocą reguły (V) o przesunięciu

B 27. Proces przejściowy przy włączeniu napięcia zmiennego na podwójny

filtr pasmowy i zależność czasu trwania tego procesu od liczby członów

B 28. Napięcie i prąd w długim kablu Thomsona zasilanym poprzez oporność B 29. Rozkład prądu i napięcia w przypadku, gdy kabel Thomsona zasilany

jest poprzez kondensator

B 30. Zasilanie długiego kabla telegraficznego poprzez kondensator i cewkę

połączoną równolegle

B 31. Obliczanie fal odbitych

a. Wielomiany Laguerre'a    .

b. Obliczanie całek oznaczonych za pomocą rachunku operatorowego

c. Całki oznaczone zawierające En i Fn oraz ich operatory .

d. Funkcja rzeczywista odpowiadająca operatorowi et

e. Funkcja rzeczywista odpowiadająca operatorowi

f. Operator odbicia '

g. Stopniowe  obliczenie  funkcji rzeczywistej   odpowiadającej   opera-torowi

B 32. Fale kompresyjne w pręcie przy uderzeniu młotkiem. Wpływ masy młotka

B 33. Przewodnictwo cieplne w jednym kierunku

a. Równanie różniczkowe przewodnictwa cieplnego

b. Ogrzewanie   pomieszczenia  poprzez   ścianę   o   skończonym   oporze

przejściowym

c. Przewodnictwo   ciepła   w   prętach   bez   uwzględnienia   upływności

bocznej .

d. Przewodnictwo cieplne w prętach przy bocznym upływie ciepła    .

B 34. Nagrzewanie się walcowego zbiornika .

B 35. Nagrzewanie   się   bębnów   hamulcowych   samochodu   przy   jego   zatrzymaniu .

B 36. Obliczanie całek oznaczonych za pomocą rachunku operatorowego

a. Metoda wartości granicznych w polu zespolonym

b. Metoda całkowania w polu zespolonym

c. Metoda przekształcenia znanych całek  .

d. Metoda przekształcenia L lub S""1 względem parametru   .

e. Metoda zamiany w wyrażeniu podcałkowym  funkcji rzeczywistej

na funkcję zespoloną i odwrotnie

B 37. Transformata za okres i za połowę okresu (napisał B. Konorski)   .   .

Przypisy

A 1. Całkowanie i różniczkowanie rzędu ułamkowego .

A 2. Podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii funkcji zmiennej  zespolonej

(napisał L. Włodarskr)

a. Liczby zespolone

b. Zbiory liczb zespolonych

c. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej i jej wykres

d. Funkcja zespolona jednowartościowa zmiennej zespolonej

e. Szeregi potęgowe

f. Całka funkcji zespolonej. Funkcja pierwotna

g. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego

h. Wzór całkowy Cauchy'ego

i. Szeregi Laurenta

k. Punkty regularne i punkty osobliwe odosobnione

1. Funkcje holomorficzne

m. Przedłużenia analityczne funkcji

A 3. Funkcje   analityczne   wieloznaczne   i   powierzchnie   Riemanua   (na

pisał Z. Zahorski)

a. Przedłużenia bezpośrednie i punkty osobliwe szeregu potęgowego

b. Przedłużenie pośrednie szeregu potęgowego, powierzchnia Riemanna,

gałąź funkcji analitycznej, naturalny obszar istnienia

c. Przykłady

d. Punkty osobliwe izolowane

A 4. Dowód równania (34) i uwagi do równania (35)

a. Twierdzenie pomocnicze Jordana

b. Dowód wzoru (34)

c. Uwagi do równania (35); warunki słuszności tego równania; droga

całkowania

A 5. Dowód reguły przemienności i łączności dla wielokrotnych splotów   .

A 6. Trudności   powstające   przy   zastosowaniu   rachunku   operatorowego

Heaviside'a w przykładzie z § 15

A 7. Rozkładanie funkcji wymiernych na ułamki proste

a. Właściwe ułamkowe funkcje wymierne z pojedynczymi biegunami

b. Niewłaściwe   ułamkowe   funkcje   wymierne.    Funkcje   impulsowe

w obszarze rzeczywistym

c. Jednakowe stopnie licznika i mianownika

d. Bieguny wielokrotne

A 8. Dowód, że twierdzenie o energii wymiennej w układzie sprzężonym

prowadzi do tego samego wyniku co przekształcenie Laplace'a  .   .   .

A 9. Wartości przybliżone funkcji Bessla Jm i niektóre całki zawierające

te funkcje

A 10. Wyprowadzenie wzorów (138)-(140) przypisu A 15

a. Wzór (138)

b. Wzór (139)

c. Wzór (140)

Ali. Działanie szybkozmiennej siły na układ bezwładny

A 12. Obliczenie funkcji czasowych odpowiadających niektórym operatorom

niewymiernym

A 13. Przekształcenie Laplace'a rozmaitych funkcji Bessla

A 14. O pojęciu i o matematycznym przedstawieniu funkcji jednostkowej

Heaviside'a

A 14a. Wyprowadzenie niektórych wzorów (napisał L. Włodarski)

A 14b. Objaśnienia niektórych użytych w książce terminów (Ustępy a-i, l, n, o,

napisał L. Włodarski, j, k, m—-Z. Zahorski, p — B. Konorski .

a. Kres górny i kres dolny zbioru

b. Granica górna i dolna ciągu

c. Mnożenie szeregów w sensie Cauchy'ego

d. Granica   lewostronna  i prawostronna  funkcji.   Granice   funkcji.

Ciągłość funkcji.

e. Funkcje klasy C,  regularne, przedziałami regularne

f. Miejsca zerowe funkcji

g. Bieguny funkcji

h. Zbieżność bezwzględna szeregów i całek

i. Zbieżność jednostajna

j. Zamiana całki podwójnej na całkę iterowaną

k. Iloczyn całek jako całka podwójna

1. Funkcja o zmienności ograniczonej

m. Całka Stieltjesa-Riemanna

n. Całka Duhamela

o. Funkcje Bessla, niektóre ich związki, równanie różniczkowe Bessla

p. Prędkość fazowa i prędkość grupowa

A 15. Zestawienie odpowiadających sobie funkcji w polu rzeczywistym

i w polu zespolonym

Wykaz literatury

Skorowidz